O que nos mostra a história da matemática sobre mudanças de paradigma?

     Diz a lenda que o oráculo de Apolo previu uma vez que uma praga cessaria se um certo altar fosse duplicado em tamanho, mantendo a sua forma [cúbica]. Se os cidadãos preocupados tivessem aumentado cada aresta do altar em um terço, o resultado seria um objecto aproximadamente 2,37 vezes o tamanho do objecto original. Pensar-se-ia que o deus ficaria agradado com estes adicionais 37%, mas a lenda é que a praga continuou depois de duplicarem cada aresta do altar, aumentando oito vezes o seu tamanho. Se os cidadãos aumentassem os lados originais em 26%, o altar ficaria aproximadamente 2,0004 vezes o seu volume original. Isto agradaria certamente ao deus. A diferença entre duas vezes o tamanho e 2,0004 vezes o tamanho não é detectável experimentalmente, pelo menos pelos seres humanos. Todavia, os matemáticos Gregos assumiram a tarefa de duplicar exactamente o tamanho do altar. Eles não estavam interessados numa aproximação, por melhor que pudesse ser. Esta questão “prática” de prevenir o desastre levou supostamente ao problema geométrico da duplicação do cubo: dado um segmento de linha recta, e utilizando somente um compasso e régua lisa [não marcada], produzir um segmento de recta cujo cubo seja exactamente o dobro do cubo do original. [...] Na época estavam disponíveis aproximações arbitrariamente próximas, mas não contavam. Estes problemas ocuparam os matemáticos durante séculos, e culminaram cerca de 2000 anos mais tarde com o resultado de que não há soluções algumas — as tarefas são impossíveis de realizar [com régua lisa e compasso].
     O influente livro The Structure of Scientific Revolutions (1970) de Thomas Kuhn fala das revoluções e “mudanças de paradigma” que tornam difícil entender os trabalhos científicos do passado. De acordo com Kuhn, para entender trabalhos prévios temos de desaprender a nossa ciência actual e tentar mergulhar na maneira ultrapassada de ver o mundo. As revoluções intervenientes mudaram eternamente os conceitos e ferramentas do dia-a-dia, tornando o trabalho passado “incomensurável” com o nosso. E que dizer da matemática? Se a filosofia de Kuhn e a historiografia da ciência se aplicam à matemática, as revoluções e mudanças de paradigma são muito mais subtis. Um matemático contemporâneo não tem de fazer muito (se algum) reapetrechamento conceptual para ler e admirar os Elementos de Euclides. As técnicas lógicas modernas descobriram algumas lacunas no raciocínio, mas as preocupações de Euclides parecem-se com as nossas, do mesmo modo que as suas demonstrações e construções. Não obstante as lacunas lógicas, os Elementos são um modelo de rigor matemático. Acredita-se largamente que os Elementos são uma culminação de um programa de pesquisa que estava bastante desenvolvido na época em que Platão viveu.
(pp. 81-83)

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